Ensembles finis Exemples

$x + \frac{12}{x} < 7$

Étape 1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x, 1$

Étape 1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $x + \frac{12}{x} < 7$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $x + \frac{12}{x} < 7$ par $x$ .

$x \cdot x + \frac{12}{x} x < 7 x$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + \frac{12}{x} x < 7 x$

Étape 2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + \frac{12}{x} x < 7 x$

Étape 2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} + 12 < 7 x$

Étape 3

Résolvez l’inégalité.

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Étape 3.1

Soustrayez $7 x$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} + 12 - 7 x < 0$

Étape 3.2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} + 12 - 7 x = 0$

Étape 3.3

Factorisez $x^{2} + 12 - 7 x$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $12$ et dont la somme est $- 7$ .

$- 4, - 3$

Étape 3.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 4) (x - 3) = 0$

Étape 3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 3.5

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 3.5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 3.6

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 3.6.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 4) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = 4, 3$

Étape 4

Déterminez le domaine de $x + \frac{12}{x} - 7$ .

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Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{12}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 4.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 3$

$3 < x < 4$

$x > 4$

Étape 6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 6.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$(- 2) + \frac{12}{- 2} < 7$

Étape 6.1.3

Le côté gauche $- 8$ est inférieur au côté droit $7$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 6.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$(2) + \frac{12}{2} < 7$

Étape 6.2.3

Le côté gauche $8$ n’est pas inférieur au côté droit $7$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $3 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $3 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3.5$

Étape 6.3.2

Remplacez $x$ par $3.5$ dans l’inégalité d’origine.

$(3.5) + \frac{12}{3.5} < 7$

Étape 6.3.3

Le côté gauche $6.9\overline{285714}$ est inférieur au côté droit $7$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 6.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 6.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$(6) + \frac{12}{6} < 7$

Étape 6.4.3

Le côté gauche $8$ n’est pas inférieur au côté droit $7$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Vrai

$0 < x < 3$ Faux

$3 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

$x < 0$ Vrai

$0 < x < 3$ Faux

$3 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

Étape 7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < 0$ ou $3 < x < 4$

Étape 8

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, 0) \cup (3, 4)$

Étape 9